Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong ellip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên băm. Một trong những lý do chính khiến hiệu suất của STARKs hiện tại kém là: Hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị Boolean, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính bảo mật của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc mở rộng dữ liệu bằng cách sử dụng mã Reed-Solomon sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, và độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phân nhánh của STARKs
| Thế hệ | Bề rộng mã hóa | Hệ thống đại diện |
|------|----------|----------|
| Thế hệ 1 | 252bit | STARK |
| Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 |
| Thế hệ thứ 3 | 32bit | Mina |
| Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên lại từ những năm 1980. Hiện nay, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28
Galois mã xác thực thông điệp ( GMAC ), dựa trên miền F2128
QR mã, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28
Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an ninh. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an ninh và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an ninh cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, giải quyết hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để tiến hành mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn đồng thời nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước một đa thức thông qua tương tác với người xác minh, để người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua nó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Các giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Theo nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và tính bảo mật của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán hóa đã tạo nền tảng cho các phép tính của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân kiểu tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng có thể xác minh, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, làm cho miền nhị phân đặc biệt thích hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Trên Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào sự chuyển vị trong các phép toán cộng và nhân, và phép nhân bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ đơn giản là chuyển đổi loại chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác thực tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải thiện ở 3 khía cạnh sau:
ProductCheck tối ưu: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu U không được bằng 0 ở mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho số không: HyperPlonk không thể xử lý đầy đủ tình huống chia cho số không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên hypercube; Binius đã xử lý vấn đề này một cách chính xác, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa thức nhiều biến phức tạp, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
10 thích
Phần thưởng
10
5
Chia sẻ
Bình luận
0/400
ZkSnarker
· 07-29 13:22
thực ra starks chỉ là đồ ăn vặt nhưng có hàm băm lmao
Xem bản gốcTrả lời0
PebbleHander
· 07-26 15:33
Bàng Bộc ở lại, thật không thể tin có người nói điều cứng rắn như vậy.
Xem bản gốcTrả lời0
SmartContractPhobia
· 07-26 15:26
Đây lại là một công việc kỹ thuật khiến người mới khó chịu.
Xem bản gốcTrả lời0
LootboxPhobia
· 07-26 15:23
Thật sự tiến bộ từ ba chữ số xuống hai chữ số.
Xem bản gốcTrả lời0
notSatoshi1971
· 07-26 15:18
Vậy mà còn muốn vượt qua snark? Tối ưu hóa này có vẻ quá bảo thủ.
Binius STARKs: Tối ưu hóa miền nhị phân và phân tích nguyên lý
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong ellip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên băm. Một trong những lý do chính khiến hiệu suất của STARKs hiện tại kém là: Hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị Boolean, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính bảo mật của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc mở rộng dữ liệu bằng cách sử dụng mã Reed-Solomon sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252 bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, và độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng độ rộng mã hóa 32 bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phân nhánh của STARKs
| Thế hệ | Bề rộng mã hóa | Hệ thống đại diện | |------|----------|----------| | Thế hệ 1 | 252bit | STARK | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | Mina | | Thế hệ thứ 4 | 1bit | Binius |
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên lại từ những năm 1980. Hiện nay, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, ví dụ điển hình bao gồm:
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an ninh. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an ninh và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an ninh cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, giải quyết hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để tiến hành mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn đồng thời nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước một đa thức thông qua tương tác với người xác minh, để người xác minh có thể xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Giải pháp cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua nó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi thông tin khác của đa thức. Các giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Theo nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Khi thiết kế Halo2, chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và tính bảo mật của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), phép toán hóa đã tạo nền tảng cho các phép tính của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Trường hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên các tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân kiểu tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng có thể xác minh, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, làm cho miền nhị phân đặc biệt thích hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong số bit đã cho. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự thuận tiện của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như trong AES sử dụng ), giảm Montgomery ( như trong POLYVAL sử dụng ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Trên Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào sự chuyển vị trong các phép toán cộng và nhân, và phép nhân bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ đơn giản là chuyển đổi loại chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, phép bình phương và phép đảo trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra hoán vị------Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác thực tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh xem chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0 hay không, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra giá trị của đa thức hợp lý trên khối siêu Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải thiện ở 3 khía cạnh sau:
ProductCheck tối ưu: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu U không được bằng 0 ở mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho số không: HyperPlonk không thể xử lý đầy đủ tình huống chia cho số không, dẫn đến việc không thể khẳng định vấn đề không bằng không của U trên hypercube; Binius đã xử lý vấn đề này một cách chính xác, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa thức nhiều biến phức tạp, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.