Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

楕円曲線に基づくSNARKsとは異なり、STARKsはハッシュに基づくSNARKsと見なすことができます。現在、STARKsの効率が低い主要な理由の一つは、実際のプログラム内のほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、ブール値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリー証明の安全性を保証するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めます。元の値自体が非常に小さい場合でもです。この問題を解決するために、領域のサイズを減らすことが重要な戦略となりました。

表1に示すように、第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、2進法はビットに直接操作を行うことを可能にし、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

表1:STARKsの進化経路

| 世代 | コード幅 | 代表システム | |------|----------|----------| | ジェネレーション1 | 252ビット | スターク | | ジェネレーション2 | 64ビット | プロンキー2 | | ジェネレーション3 | 32ビット | ミナ | | ジェネレーション4 | 1ビット | ビニウス |

ゴルディロックス、ベイビーベア、メルセンヌ31など近年の新しい研究で発見された有限体に対して、二進体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進体は暗号学に広く応用されており、典型的な例としては:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)
• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128体に基づいて
• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用
• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さな体を使用する場合、拡張域の操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進法の体は、その安全性と実際の利用可能性を保証するために完全に拡張域に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張域に入る必要がなく、基本体の下で操作するだけで、小さな体で高効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張域に深く入る必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題があります: STARKsにおけるトレース表現の計算には、使用するフィールドのサイズが多項式の次数より大きくなければならず; STARKsにおけるマークルツリーのコミットメントには、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化後の拡張サイズより大きくなければなりません。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数(具体的には多線形)多項式を使用し、"超立方体"(hypercubes)上でのその値を通じて全ての計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を方形(square)として捉え、その方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在、大多数のSNARKsシステムの構築は通常、次の2つの部分を含んでいます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。現在のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどが含まれており、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS): 多項式コミットメントスキームは、PIOP生成の多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種で、証明者は特定の多項式をコミットし、後にその多項式の評価結果を検証できる一方で、多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPおよびPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせて、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型バイナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています：効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に高度に効率的な算術演算をサポートし、性能要求に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択となります。さらに、バイナリーフィールド構造は簡素化された算術化プロセスをサポートし、すなわちバイナリーフィールド上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特徴に加え、タワー構造を通じてその階層的特性を十分に活用できることから、バイナリーフィールドはBiniusのような拡張可能な証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2において、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数体は32ビットに含めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数体Fpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64など特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使用される還元方法には、AESで使用される特殊還元(、POLYVALで使用されるMontgomery還元)、そしてTower(のような再帰的還元)が含まれます。論文「Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations」では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算において繰り上がりを必要とせず、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であると指摘されています。なぜなら、(X + Y )2 = X2 + Y 2 の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列はバイナリフィールドの文脈で様々な方法で解釈できます。128ビットバイナリフィールドのユニークな要素として見なすことも、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。このような表現の柔軟性は、計算コストを伴わず、ビット文字列の型変換(typecast)に過ぎず、非常に興味深く有用な属性です。同時に、小さなフィールド要素は追加の計算コストなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させています。また、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットタワー型バイナリフィールドにおける(のmビットサブフィールド)への乗算、平方、逆演算の計算の複雑さについて考察されています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

( 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには以下が含まれます:

1. GateCheck: 検証秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C)x,ω###=0を満たしているかどうかを確認し、回路が正しく動作することを保証します。

2. PermutationCheck: 2つの多変数多項式fとgのブール超立方体における評価結果が置換関係であるかどうかを検証するf(x) = f(π)x((、これにより多項式の変数間の排列の一貫性を確保します。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。つまり、f)Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = s に等しいかどうかを検査し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点で多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑度を低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を許可し、ランダム数を導入することで、複数の合計検証インスタンスのバッチ処理を実現します。

8. BatchCheck: SumCheckに基づいて、複数の多変数多項式の評価の正しさを検証し、プロトコルの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改善を行いました:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非零であり、かつ積が特定の値に等しいことを要求します; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑性を低下させました。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上でのUの非ゼロ性を断言できない; Biniusはこの問題を正しく処理しており、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続行でき、任意の積の値に拡張を許可します。

• 列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能はありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することにより、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しています。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基盤を築いています。