Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

A diferencia de los SNARKs basados en curvas elípticas, los STARKs se pueden considerar como SNARKs basados en hash. Una de las principales razones de la baja eficiencia de los STARKs en la actualidad es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al utilizar codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.

Como se muestra en la tabla 1, el ancho de codificación de los STARKs de primera generación es de 252 bits, el ancho de codificación de los STARKs de segunda generación es de 64 bits, el ancho de codificación de los STARKs de tercera generación es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta un gran desperdicio de espacio. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, codificando de manera compacta y eficiente sin ningún desperdicio de espacio, es decir, los STARKs de cuarta generación.

Tabla 1: Rutas de derivación de STARKs

| Generación | Ancho de codificación | Sistema representativo | |------|----------|----------| | Primera generación | 252bit | STARK | | Segunda generación | 64bit | Plonky2 | | Tercera generación | 32bit | Mina | | Cuarta generación | 1bit | Binius |

En comparación con Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 y otros campos finitos descubiertos en los últimos años, la investigación en campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de Cifrado Avanzado ( AES ), basado en el dominio F28
• Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el campo F2128
• Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F28
• El protocolo FRI original y el protocolo zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, son algoritmos de hash muy adecuados para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. Y el dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que operan únicamente en el dominio base, logrando así alta eficiencia en un dominio pequeño. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de prueba basado en el campo binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del traza en STARKs, el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del campo utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y logra representar los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( específicamente un polinomio multilineal ) en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" (; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado ), basando la extensión de Reed-Solomon en ese cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora significativamente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente suele incluir las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica Teórica de la Información ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como el núcleo del sistema de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene diferentes enfoques para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si la igualdad polinómica generada por PIOP es válida. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información sobre el polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuados, se puede construir un sistema de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar la configuración confiable del protocolo ZCash.

• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS y está basado en el dominio de Goldilocks. Plonky2 se diseñó para lograr una recursión eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin un entorno de confianza, y si puede soportar funciones extensibles como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + domini binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios (towers of binary fields) constituye la base de sus cálculos, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de producto y permutación de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación consistente y segura de las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia en la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y robusta seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo emplea un esquema de compromiso polinómico de pequeño dominio (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reducir los gastos normalmente asociados con dominios grandes.

( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

El campo binario en torre es clave para lograr cálculos verificables rápidos, principalmente debido a dos aspectos: computación eficiente y aritmética eficiente. El campo binario, por su naturaleza, admite operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus propiedades jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que el campo binario sea particularmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de los elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de longitud k se puede mapear directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) como se usa en AES ###, la reducción de Montgomery ( como se usa en POLYVAL ) y la reducción recursiva ( como Tower ). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto de un campo binario. Puede considerarse como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos de campo torre de 64 bits, cuatro elementos de campo torre de 32 bits, 16 elementos de campo torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden empaquetarse en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius se beneficia de esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicaciones, elevaciones al cuadrado y operaciones de inversión en un campo binario torre de n bits ( descomponiéndose en un subcampo de m bits ).

( 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable al campo binario

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación fundamentales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones fundamentales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C)x, ω###=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π)x((, para asegurar la consistencia en la permutación entre las variables polinómicas.

3. LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f)Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Comprobar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para garantizar la corrección del producto del polinomio.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Reduce la complejidad computacional del verificador al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariable en la evaluación de un polinomio univariable. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten la verificación por lotes de múltiples instancias de suma.

8. BatchCheck: basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha mejorado en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea distinto de cero en todo el hipercubo y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación de columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de disposición polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más fuerte. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en dominios binarios.